Arithmétique – Cours 3ème

Arithmétique

L’arithmétique étudie les règles de calculs entre les nombres. Quels groupes de nombres peut-on faire? Quelles propriétés ont ces groupes de nombres? Vous connaissez par exemple déjà les nombres paires et impaires, nous allons découvrir quelques autres groupes et propriétés ici.

Définitions

Soit a et b et n trois nombres entiers, avec b non nul tel que a x b = n 

a et b sont appelés des diviseurs de n.

n est lui appelé un multiple de a et de b.

Notre conseil : pour ne pas s’emmêler les pinceaux, rappelles-toi que b est un diviseur de a si

   

 est un entier. De même n est un multiple de a si n est dans la table de multiplication de a.

On appelle Plus Grand Diviseur Commun de a et b (qu’on écrit PGCD de a et b ou encore PGCD(a,b)) le plus grand nombre qui est diviseur de a et diviseur de b.

Algorithme d’Euclide

Soit a et b (a≥b) deux entiers non nuls et r le reste de la division euclidienne de a par b.

Si r= 0, alors PGCD(a,b)=b

Sinon : PGCD(a,b)=PGCD(b,r)

Notre conseil : Cet algorithme est difficile à comprendre à l’écrit, nous allons te présenter un schéma pour que tu comprennes mieux, nous te conseillons de le garder en tête.

Schéma et exercices :  1.Déterminer le PGCD de 132 et 120 :

Pour utiliser correctement l’algorithme d’Euclide :

• Je trace mes 3 colonnes et je comprends ce que sont a et b.
• Je réalise ma division : 132/120, et je note mon reste : ici 12
• Je descends d’une ligne et je prends a pour mon ancien b et mon ancien reste comme le nouveau b
• Il ne me reste plus qu’à faire cette opération jusqu’à obtenir r=0.
• Quand j’ai r=0, il ne me reste plus qu’à lire notre dernier b comme le PGCD

A toi de jouer !

                          2. Déterminer le PGCD de 156 et 135.

Le PGCD de 156 et 135 est 3!

Notre conseil : l’algorithme d’Euclide peut paraitre difficile au début mais il te suffit de pratiquer un peu à l’aide de nos exercices sur notre site pour rapidement comprendre et maitriser la méthode. Pratiquez à l’aide de nos exercices!

Nombres premiers

• Un entier naturel (donc un entier supérieur ou égal à 0) est dit premier si il a exactement 2 diviseurs. Concrètement, les nombres premiers ont pour diviseur eux-mêmes et 1.

Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…

Le plus MasterMaths : il existe une infinité de nombres premiers (ce n’est pas à ton programme mais c’est toujours sympa à savoir).

Attention : 1 n’est pas premier ! En effet, seul 1 divise 1

• a et b deux entiers naturels sont dit premiers entre eux si PGCD(a,b)=1.

Pratiquez à l’aide de nos exercices pour les nombres premiers entre eux!

• On dit que la fraction a/b est irréductible si a et b sont premiers entre eux.

Retrouve tous les exercices d’arithmétique sur notre site!

Notre conseil :

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Équations – Cours 3ème

Une fiche de cours sur les équations: l’un des chapitres les plus importants du programme de 3ème.

Ressources extérieures:

Outil: Algorithme d’Euclide

Pour un peu mieux comprendre l’histoire de cet algorithme et voir ses origines mais aussi ses applications.

Outil: Euclide

Pour un peu mieux comprendre ce mathématicien, ses résultats et son histoire.