Différents Raisonnements

Les raisonnements sont les manières de penser. On les utilise aussi bien en mathématiques que dans notre vie courante sans même s’en rendre compte. En 3eme, tu as l’occasion de découvrir un nouveau raisonnement: le raisonnement par l’absurde.

Raisonnement par induction

Dans un raisonnement par induction, chaque démonstration comporte 3 parties :

Les connaissances
L’outil (le théorème ou la propriété)
La conclusion

Ces trois étapes doivent normalement te rappeler notre rédaction de problème pour les exercices sur le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès :

Je sais que : mes connaissances (énoncé ou connaissances démontrées)
Or : l’outil (mon théorème ou ma propriété)
Donc : ma conclusion

Notre conseil : On utilise constamment le raisonnement par induction en maths mais aussi dans la vie de tous les jours. Tu comprends encore mieux maintenant pourquoi il est si important de bien rédiger ! Toute la rigueur donne du poids à ce que tu écris. D’expérience avec des élèves ou même pour chacun de nous, ce qu’on dit évident est souvent bien plus dur que l’on imagine. Ne rentre pas dans cette habitude de dire « c’est évident » : si ce l’est, démontre le. Tes professeurs apprécieront ta rigueur (qui n’est pas souhaitable mais obligatoire) et tu seras satisfait de ton niveau en mathématiques. Un bon mathématicien est un mathématicien rigoureux !

Raisonnement par l’absurde

On appelle contradiction une propriété fausse qui contredit les hypothèses initiales (nos connaissances).

Notre vision : Le raisonnement par l’absurde reviens à supposer la propriété qu’on cherche à démontrer comme fausse. On va ensuite utiliser différents théorèmes et propriétés pour obtenir une contradiction. On pourra alors conclure que les hypothèses sont fausses (et donc que la propriété supposée est fausse).

Voici les étapes du raisonnement:

On suppose la propriété qu’on veut démontrer fausse
Or (on utilise des théorèmes et propriétés pour obtenir une conclusion)
Donc : on obtient une contradiction
On conclue donc que la propriété supposée est fausse (souvent considéré comme partie du donc)

Notre conseil : Ce raisonnement est finalement assez logique. Pour démontrer que quelque chose est faux je démontre que si il est vrai alors il existe quelque chose qui contredit ce qu’on sait déjà vrais.

Exemple et exercice

Dans cette dernière partie, nous allons t’expliquer la démarche de résolution et te montrer la rédaction que tu dois avoir sur ta copie.

Exercice : Démontrer que ABC n’est pas rectangle en B.

La démarche : On cherche à démontrer que ABC n’est pas rectangle en B. Supposons donc qu’il est rectangle en B. Comme ABC est rectangle on pourra appliquer le théorème de Pythagore et démontrer une contradiction.
Rédaction :

Supposons que ABC est un triangle rectangle en B.

Or le théorème de Pythagore assure que pour un triangle ABC rectangle en B alors on a :

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Donc

$AC^2 = 5^2 = 25 = AB^2 + BC^2 = 4^2+4^2=32$

On obtient donc 32 = 25 ce qui est une contradiction. On a donc que le triangle ABC n’est pas rectangle en B !

Notre conseil : Voilà ! Tu peux voir qu’une contradiction est le plus souvent très simple (ici 32 = 25). Pour bien réussir à utiliser ce raisonnement, visualises bien les différentes étapes dans ton exercice et rédiges bien !

Retrouve tous les exercices sur notre site!

Notre conseil :

Ce chapitre n’est pas un chapitre à part entière. Nous te le présentons sous la forme d’une fiche à part pour que tu puisses bien comprendre la démarche des raisonnements. C’est l’un des fondements des mathématiques. Tu découvriras par la suite encore quelques raisonnements différents. L’important est de comprendre qu’on a besoin d’une manière de raisonnée scientifique et rigoureuse pour pouvoir être sûr que nos résultats sont justes.
Tu trouveras régulièrement des raisonnements faux dans la vie de tous les jours. Prendre du recul et savoir les identifier t’aidera à dissocier le vrai du faux!

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Théorème de Thalès – Cours 3ème

Fiche de cours: Théorème de Pythagore – Cours 3ème

Les raisonnements par l’absurde sont régulièrement utilisés avec les théorèmes de Pythagore et de Thalès. Consultez ces cours!

Ressources extérieures:

Outil: Raisonnement par l’absurde

Pour plus d’informations sur l’histoire de ces raisonnements autant en mathématique qu’en philosophie, consultez cette page!

Différents Raisonnements – Cours 3ème