Ensembles de nombres – Cours 2nd
Ensembles de nombres
Vous avez pu découvrir au collège un certain nombres d’ensembles de nombres . En 2nd, on développe un peu plus ces compétences et on cherche à obtenir une image globale de l’ensemble des ensembles de nombres.
Un petit mot sur les ensembles de nombres: la classification des nombres peut vous paraître tout simplement inutile. Cependant, c’est en réalité l’un des objectifs des mathématiques de développer cette classification. En effet, si vous poursuivez plus tard dans les mathématiques, vous verrez qu’on classe tous les éléments mathématiques: les nombres mais aussi les fonctions par exemple. Avoir une classification permet aussi de déterminer des propriétés sur un ensemble donné. C’est ce qui intéresse le « plus » les mathématiciens.
Ensembles de nombres
Nous allons étudier l’ensemble des ensembles de nombres.
Nombres réels
Les nombres réels sont l’ensemble des nombres que vous connaissez (pour l’instant). Ils ont été initialement créés pour représenter les distances sur une droite. Vous l’aurez compris, c’est l’ensemble de nombre le plus « grands » que vous connaissiez (pour l’instant en tout cas).
L’ensemble des nombres réels sont représentables sur une droite.
Notre conseil : Pensez tout simplement aux axes sur un graphique. L’abscisse est une droite des réels tout comme l’ordonnée.
![\[ \mathbb{R} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3beb40c056b216afb27030f28edba1f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont l’ensemble des nombres réels qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
Notre conseil : Il ne faut pas s’arrêter à cette définition et bien comprendre que les relatifs peuvent être écris sous forme de fraction ou sous forme de nombre à virgule ou non.
Exercice: 3,8887 est il un nombre rationnel?
Oui! On a:
![\[ 3,8887 = \frac{38887}{10000} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76620a953618e8bb8fba1f290367e1e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On a donc bien que 3,8887 est un enter relatif.
Notre conseil : Tous les nombres avec une partie décimale finie sont des nombres rationnels. En effet, il suffit de les exprimer sur une fraction en divisant par une puissance de 10 comme on vient de la faire ci-dessus.
Propriété: La somme, la différence, la multiplication et le quotient de nombres rationnels est un nombre rationnel.
On note cet ensemble:
![\[ \mathbb{Q} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0dddc3c1739638a345aa16a08ab0907_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nombres irrationnels
Les nombres irrationnels sont l’ensemble des nombres réels qui ne sont pas des réels.
On note cet ensemble:
![\[ \mathbb{R} - \mathbb{Q} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8a14587a3559b99d3fa8b00f3152a77_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
qui se lit « R privé de Q ».
Entiers relatifs
Les entiers relatifs sont l’ensemble des nombres sans partie décimale. C’est donc les nombres 1, 2, 3 mais aussi -1, -3, -6 etc. etc.
On note cet ensemble:
![\[ \mathbb{Z} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db92d352ad46a17ff0e9b24723579e45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Propriété: La somme, la différence et la multiplication d’entiers relatifs est un entier relatif (ce n’est pas le cas pour la division).
Entiers naturels
Les entiers naturels sont l’ensemble des entiers relatifs positifs. C’est donc les nombres 1, 2, 3 par exemple.
On note cet ensemble:
![\[ \mathbb{N} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-691f2f0e3663627d073c275dd606ef28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Propriété: La somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
Ce qu’on vous conseille de retenir:
Globalement, nous vous conseillons de retenir les définitions des ensembles présentés ici car ils vous seront utiles dans la suite de vos études au lycée. Pour vous aider à retenir, le plus simple est de retenir deux/trois exemples de chaque ensemble et de retenir le schéma suivant:
En effet, retenez surtout que les ensembles de nombres sont emboités de cette manière:
les entiers naturels sont des entiers relatifs qui sont eux même des nombres rationnels qui sont eux même des réels!
Retrouve tous les exercices sur les équations sur notre site!
Notre conseil :
Ressources supplémentaires:
Sur notre site:
Fiche de cours: Fractions – Exercices 3eme
La résolution d’exercices sur les fractions vous donnera toute l’aisance nécessaire pour manipuler les nombres rationnels.
Ressources extérieures:
Outil: Ensembles de nombres – Wikipedia
Pour en découvrir un peu plus sur l’histoire de ces classements de nombres!