Étude de fonctions

Dans ce chapitre, nous poursuivrons la découverte des fonctions réalisée en 3ème par l’étude de fonctions. Nous allons étudier notamment les ensembles de définition, les variations des fonctions et leur parité.

Les fonctions sont utiles car elles décrivent une « dynamique » qu’un simple calcul ne donne pas. Pour calculer simplement une image, il suffit d’une opération, mais pour étudier la dynamique il nous faut étudier la fonction. C’est ce qu’on appelle l’étude de fonctions.

Ce chapitre fait suite aux chapitre: Fonctions – Cours 3ème et Fonction linéaire et fonction affine – Cours 3ème que nous vous conseillons vivement de relire avant de vous plonger dans ce chapitre d’étude de fonctions.

Rappel

On appelle fonction numérique (que tu appelleras le plus souvent fonction) sur un ensemble D une application qui prends pour argument x et lui associe son image y.
On peut représenter sur un graphique une fonction. On parle alors de représentation graphique. Pour réaliser une représentation graphique, on prend une abscisse qui sera notre antécédent et on détermine son image. On pourra ensuite placer le point M de coordonnées M(x ; f(x)) sur le graphique. On trace l’ensemble des points de coord. M(x,f(x)).

Ensemble de définition

En 3ème, on n’abordait que très rapidement la notion d’ensemble de définition. Nous allons à présent étudier un peu plus cette notion.

Pour une fonction f donnée, il n’est a priori pas juste de dire que tous les réels possèdent une image par la fonction f.

Exemple : La fonction:

$f(x) = \frac{1}{x}$

Ne possède pas d’image pour x = 0 car on ne peut pas diviser par 0.

On dit dans ce cas que la fonction f n’est pas définie pour la valeur 0.

Vous l’aurez donc compris:

On appelle ensemble de définition d’une fonction f l’ensemble des réels tel que f possède une image pour ces antécédents.

Exemple : La fonction:

$f(x) = \frac{1}{x}$

La fonction f n’est pas définie en 0 mais est définie sur tous les autres réels.

Son domaine de définition est donc l’ensemble des réels privé de 0, que l’on note aussi:

$\mathbb{R}^{*}$

Variations

Étudier l’image d’un point de l’ensemble de définition vous donne seulement une image « fixe ». Les fonctions sont particulièrement intéressantes car on peut en étudier leur « dynamique ». On va donc étudier les variations d’une fonction.

On dira qu’une fonction est croissante sur un intervalle [a ; b] si: pour tout éléments x et y de [a ; b] avec:

$x \le y$

alors :

$f(x) \le f(y)$

On dira qu’une fonction est décroissante sur un intervalle [a ; b] si: pour tout éléments x et y de [a ; b] avec:

$x \le y$

alors :

$f(x) \ge f(y)$

Notre conseil : La croissance ou la décroissance d’une fonction est bien sur un intervalle! Si vous voulez montrer ces propriétés, vous ne pouvez pas les démontrer avec deux valeurs particulières. Il sera obligatoire de prendre des variables.

Méthode : Pour déterminer les variations d’une fonction f sur un intervalle [a ; b] :

On prends x et y éléments de [a ; b] avec :

$x \le y$

On calcule : f(y) – f(x).
Si :

$f(y) - f(x) \ge 0$

alors f est croissante sur [a ; b].

Si :

$f(y) - f(x) \le 0$

alors f est décroissante sur [a ; b].

Notre conseil : Rien n’assure qu’une fonction sera soit croissante soit décroissante sur un intervalle. elle peut par exemple être tout d’abord décroissante puis croissante par exemple ( f(x) = x² ).

Interprétation graphique

La représentation graphique d’une fonction nous permet d’identifier simplement les variations d’une fonction. Si la courbe « monte » la fonction est croissante sur cet intervalle. Si elle « descend », la fonction est décroissante sur cet intervalle.

Pour représenter l’ensemble des variations d’une fonction, on représente les variations dans un tableau de variation comme vous pouvez le voir ci-dessous.

Exemple : La fonction f(x) = x² admet comme représentation graphique :

On a que la fonction f est décroissante sur l’intervalle:

$]-\infty ; 0]$

et qu’elle est croissante sur :

$[0; +\infty[$

On obtient donc comme tableau de variation :

Parité

On dit que la fonction f est paire si: pour tout x élément de l’ensemble de définition, on a: f(x) = f(-x).

Note : Il faut déjà que pour tout x du domaine de définition, -x fasse aussi parti du domaine de définition (ce qui n’est pas évident).

On dit que la fonction f est impaire si: pour tout x élément de l’ensemble de définition, on a: f(x) = -f(-x).

Méthode : Pour déterminer si une fonction est paire:

Calculer f(x) pour x dans l’ensemble de définition.
Calculer f(-x) pour x dans l’ensemble de définition.
Conclure par f(x) = f(-x).

Méthode : Pour déterminer si une fonction est impaire:

Calculer f(x) pour x dans l’ensemble de définition.
Calculer f(-x) pour x dans l’ensemble de définition.
Conclure par f(x) = -f(-x).

Attention : Comme pour les variations, on parle bien d’une fonction paire ou impaire. Il faut donc faire ces vérifications sur l’ensemble de définition et donc prendre une variable x dans l’ensemble et non une valeur particulière.

Interprétation graphique

Les fonctions paires ont une représentation graphique symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple : La fonction f(x) = x² est paire et sa représentation graphique est:

Les fonctions impaires ont une représentation graphique symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple : La fonction f(x) = -x est paire et sa représentation graphique est:

Retrouve tous les exercices sur les fonctions sur notre site!

Notre conseil :

Il s’agit surtout de bien comprendre ce que vous devez apprendre. En 3ème, vous avez découvert les fonctions. On approfondie maintenant ces notions en étudiant les particularités des fonctions.
Les fonctions sont utiles car elles décrivent une « dynamique » qu’un simple calcul ne donne pas. Pour calculer simplement une image, il suffit d’une opération, mais pour étudier la dynamique il nous faut étudier la fonction. C’est ce sur quoi on se concentrera au lycée.
Il faut, pour finir, bien comprendre les notions d’intervalles et comprendre que les propriétés d’une fonction sont étendues soit sur un intervalle soit sur son ensemble de définition, il est donc important de ne pas prendre une valeur particulière mais bien sur une variable de l’ensemble/ de l’intervalle.

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Fonction linéaire et fonction affine – Cours 3ème

Les fonctions affines et linéaires sont des cas particuliers de fonctions. Consultez ce cours pour maîtriser toutes les nouvelles notions relatives aux fonctions en 3ème.

Fiche de cours: Fonctions – Cours 3ème

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Ressources extérieures:

Outil: Geogebra

Un outil adapté et gratuit pour représenter graphiquement des fonctions de tout type! Tracer les fonctions vous donnera un meilleur aperçu de ce que vous étudiez.

Étude de fonctions – Cours 2nd