Fractions et radicaux

Ce chapitre s’inscrit dans la lignée du chapitre: Fractions – Cours 3ème que nous vous conseillons fortement de revoir avant de poursuivre avec celui ci.

Dans ce cours, nous ferons un rappel de la 3ème puis nous poursuivrons en apprenant comment supprimer une racine au dénominateur (les radicaux).

Opérations sur les fractions: rappel

Addition et soustraction

Addition:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}$

Méthode de résolution:

Identifier les deux fractions à sommer.
Mettre les deux fractions sur le même dénominateur.
Sommer.

Soustraction:

$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$

Méthode de résolution:

Identifier les deux fractions à sommer.
Mettre les deux fractions sur le même dénominateur.
Soustraire.

Attention : Pour les additions et soustractions tu dois avoir le même dénominateur. Pose toi toujours la question si c’est le cas avant de faire ton opération !

Retrouvez nos exercices d’additions et soustractions ici: Fractions – Exercices 3eme.

Multiplication et division:

Multiplication:

$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * b}{c * d}$

Méthode de résolution:

Identifier les deux fractions à multiplier.
Multiplier le numérateur et le dénominateur.

Division:

$\frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{a * d}{b * c}$

Méthode de résolution:

Identifier les deux fractions concernées.
Multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Retrouvez nos exercices de multiplication et division ici: Fractions – Exercices 3eme.

Notre conseil : pour les divisions, on te conseille de te rappeler que diviser par une fraction c’est multiplier par son inverse. Cette notion est pas facile à comprendre, on te conseille de faire les exercices sur notre site à ce sujet!

Règles de calcul sur les radicaux

Dans cette section, nous allons voir comment « enlever » une racine carrée au dénominateur d’une fraction. On essaye d’éviter le plus possible de garder des racines au dénominateur de fractions.

On apprit en 3ème que:

$1. \sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$2. \sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}$

Pour supprimer une racine au dénominateur 2 cas se proposent à nous:

Le dénominateur est une fraction.

Dans ce cas il suffit de multiplier la fraction par le dénominateur.

On a alors:

$\frac{a}{\sqrt{b}} =\frac{a\times\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{a\times\sqrt{b}}{b}$

On a bien supprimé la racine au dénominateur!

Exemple : Supprimer la racine pour la fraction:

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Correction :

$\frac{3}{\sqrt{2}} =\frac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\times\sqrt{2}}{2}$

On a bien supprimé la racine au dénominateur.

Attention : Une erreur classique en voulant aller vite est de vouloir mettre toute la fraction au carré au lieu de multiplier simplement par le dénominateur mais on a bien:

$\frac{a}{\sqrt{b}} \ne \frac{a^2}{b}$

Le dénominateur comporte une fraction et un autre nombre.

Dans ce cas, on ne peut plus simplement multiplier par le dénominateur.

Le cours: Identités remarquables – Cours 3ème nous donne :

(a – b)(a + b) = a² – b²

Vous l’aurez compris, on va donc multiplier le dénominateur par la partie manquante de l’identité pour obtenir la forme voulue et utiliser l’identité remarquable.

On a donc:

$\frac{a}{b + \sqrt{c}} =\frac{a\times( b - \sqrt{c})}{( b + \sqrt{c})\times( b - \sqrt{c})} = \frac{a\times( b - \sqrt{c})}{b^2 - {\sqrt{c}}^2} = \frac{a\times( b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$

Exemple : Supprimer la racine pour la fraction:

$\frac{3}{2 +\sqrt{2}}$

Correction :

$\frac{3}{2 + \sqrt{2}} =\frac{3\times(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})\times(2 - \sqrt{2})} = \frac{3\times(2 - \sqrt{2})}{2^2 - {\sqrt{2}}^2} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2}$

On a bien supprimé la racine au dénominateur.

Retrouve tous les exercices sur les fractions et manipulation de radicaux sur notre site!

Notre conseil :

Ces méthodes de calculs sont relativement simples après avoir bien pratiqué sur des calculs concrets.
On se répète mais pensez bien à ne pas mettre votre fraction au carré mais bien de multiplier par le dénominateur dans le premier cas pour être certain de ne pas faire de faute! Prenez votre temps.

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Fractions – Cours 3ème

Une fiche de cours sur les équations: l’un des chapitres les plus importants du programme de 3ème. Les identités remarquables sont utilisées dans la résolution d’équations.

Fiche de cours: Identités remarquables – Cours 3ème

Une fiche de cours sur les équations: l’un des chapitres les plus importants du programme de 3ème. Les identités remarquables sont utilisées dans la résolution d’équations.

Ressources extérieures:

Outil: Identités remarquables – Cours

Un cours simple et clair avec des schémas en couleur pour mieux comprendre les différentes identités!

Fractions et radicaux – Cours 2nd