Homothétie – Cours 3ème

Homothétie

Les homothéties sont les toutes premières transformations géométriques mises en avant. Nous allons voir que ce mot compliqué est finalement assez accessible si on s’attache bien aux définitions.

Définition

Soit O un point donné de l’espace et k un nombre strictement positif. L’homothétie de centre O, de rapport k est la transformation qui à M un point de l’espace, associe M’ un autre point de l’espace tel que :

• M’ appartient à [OM)
• OM’= k x OM

Notre conseil : Cette définition peut faire peur au début. On te conseille de bien comprendre qu’une homothétie est une transformation qui prend donc un point de l’espace M et qui le transforme en un nouveau point M’. Une fois cette idée maitrisé, il faut comprendre qu’une homothétie est une transformation qui multiplie les distances . Multiplier les distances oui, mais par rapport à quoi ? Et bien c’est là qu’intervient notre fameux point O (le centre). On multiplie les distances OM par le rapport k.

Voici la méthode pour obtenir M’ l’image de M par l’homothétie de centre O et de raport k:

Notre méthode :

• Tout d’abord on trace la demi-droite [OM).
• On mesure ensuite la distance OM.
• On multiplie cette distance par k et on obtient OM’.
• On place le point M’ qui est situé sur la demi-droite [OM) à la distance  OM’ et on place M’.

Attention: cette méthode marche seulement pour les facteurs k positifs. Si k est négatif, il suffit de tracer la droite OM et de prendre la distance mais dans l’autre sens.

Pratiquez avec nos exercices sur les homothéties!

Exemples et schémas

Exercice:

Dans le cas simple suivant : Déterminer M’ l’image de M par l’homothétie de centre 0 et de rapport 3.

Nous allons te présenter notre méthode pour ne faire aucune erreur.

Notre méthode :

• Tout d’abord on trace la demi-droite [OM).
• On mesure ensuite la distance OM.
• On multiplie cette distance par k et on obtient OM’.
• On place le point M’ qui est situé sur la demi-droite [OM) à la distance  OM’ et on place M’.

Appliquons notre méthode sur notre exemple !

• Je trace ma demi-droite [OM) :

• On mesure la distance OM : 1 carreau en diagonal (tu remarqueras qu’on mesure avec les carreaux si on peut, ça nous évite de faire des erreurs).
• On multiplie cette distance par 3 : OM’ = 3 carreaux en diagonal.
• On place le point M’ qui est situé sur la demi-droite [OM) à la distance  OM’ et on place M’ :

On a donc bien trouvé M’ !

Exercice:

Un peu plus dur : Déterminer A’ l’image de A par l’homothétie de centre 0 et de rapport 2.

Notre méthode :

• Tout d’abord on trace la demi-droite [OA).
• On mesure ensuite la distance OA.
• On multiplie cette distance par k et on obtient OA’.
• On place le point M’ qui est situé sur la demi-droite [OA) à la distance  OA’ et on place A’.

Appliquons notre méthode sur notre exemple !

• Je trace ma demi-droite [OA) :

• On mesure la distance OA : 2 carreaux en hauteur pour un carreau en largeur (tu remarqueras qu’on mesure avec les carreaux si on peut, ça nous évite de faire des erreurs).
• On multiplie cette distance par 2 : OA’ = 4 carreaux vers le haut pour deux carreaux vers la droite.
• On place le point A’ qui est situé sur la demi-droite [OA) à la distance  OA’ et on place A’ :

Notre conseil : Ce chapitre n’est pas si difficile qu’on pourrait le croire. Si tu t’entraînes bien, ce sont des points gratuits à tes contrôles (et au brevet) alors profites-en.

Retrouve tous les exercices sur les homothéties sur notre site!

Notre conseil :

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Agrandissements et réduction

Ce chapitre au programme de troisième traite d’agrandissements et de réductions de figures géométriques.

Ressources extérieures:

Outil: Geogebra

Un outil adapté et gratuit pour la construction de figures sur ordinateur de manière rapide et facile! Nos différents schémas sont réalisés sur cet outil que nous conseillons vivement!