Identités remarquables – Exercices 3eme
Cette fiche d’exercice fait référence au cours Identités remarquables – Exercices 3eme. Consultez le avant de réaliser ces exercices et revenez sur le cours si vous éprouvez des difficultés dans la réalisation des exercices.
Dans cette fiche, nous allons aborder les différentes identités remarquables et comprendre comment les utiliser et comment les repérer. On va débuter par le développement puis faire des factorisations car il est bien plus facile d’identifier les identités remarquables dans les développements.
On va tout d’abord apprendre à maitriser les développements et factorisations d’identités remarquables avant de chercher à les identifier dans des cas plus généreaux.
Développement
Vous remarquerez que le développement des identités remarquables est relativement simple si vous connaissez vos identités et que vous prenez votre temps. La difficulté se trouve dans le fait d’identifier les identités remarquables, nous travaillerons sur ce point un peu plus tard.
Difficulté: 1/3
Compétence: Développement/identités remarquables
Énoncé: Développer: (x + 6)²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
On applique la méthode:
On identifie ici la première identité remarquable et on identifie a = x et b = 6.
Rédaction:
![\[ {(x + 6)}^2= x^2 + 2\times6\timesx + 6^2 = x^2 + 12x + 36 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f6c36a25e33a5afd2357bfcbab24601_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
Difficulté: 1/3
Compétence: Développement/identités remarquables
Énoncé: Développer: (2 – 3x)²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
On applique la méthode:
On identifie ici la deuxième identité remarquable et on identifie a = 2 et b = 3x.
Rédaction:
![\[ {(2 - 3x)}^2= 2^2 - 2\times2\times3x + {3x}^2 = 4 - 12x + 3x^2 = 3x^2 - 12x + 4 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef61a7f4e02765d8cfc4fc6a301cc009_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquez qu’on réarrange l’ordre de nos termes à la fin du calcul. C’est une habitude que nous avons de les trier en fonction de la puissance de x pour bien regrouper les termes. Cette habitude vous sera bénéfique au lycée notamment, on vous la conseille!
Difficulté: 1/3
Compétence: Développement/identités remarquables
Énoncé: Développer: (7 – 6x)(7 + 6x)
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre le développement.
On applique la méthode:
On identifie ici la troisième identité remarquable et on identifie a = 7 et b = 6x.
Rédaction:
![\[ (7 - 6x)(7 + 6x) = 7^2 - {6x}^2 = 49 - 36x^2 = -36x^2 + 49 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78539568ef31e350f281ce3627a689aa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquez qu’on réarrange l’ordre de nos termes à la fin du calcul. C’est une habitude que nous avons de les trier en fonction de la puissance de x pour bien regrouper les termes. Cette habitude vous sera bénéfique au lycée notamment, on vous la conseille!
Factorisation
Difficulté: 2/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: 4x² + 8x + 4
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
On identifie ici la première identité remarquable et on identifie a = 2x et b = 2, on a bien 2ab = 8x donc l’identité remarquable identifiée est la bonne.
Rédaction:
![\[ 4x^2 + 8x + 4 = {(2x + 2)}^2 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e20cde3996e7428e51b86183cde42c5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
Difficulté: 2/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: 36 – 4x²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
On identifie ici la troisième identité remarquable et on identifie a = 6 et b = 2x.
Rédaction:
![\[ 36 - 4x^2 = (6 -2x)(6 + 2x) \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f43bf8d87f8ff6ab9b4825c3d5caf11_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
Difficulté: 2/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: 16 – 8x + x²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
On réordonne les termes:
![\[ 16 - 8x + x^2 = x^2 - 8x + 16 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-820ac97e83b7eeb522fabea045685f10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On identifie ici la troisième identité remarquable et on identifie a = 4 et b = x. et -2ab = -8x ce qui confirme la deuxième identité remarquable.
Rédaction:
![\[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a57db4513bfe6e635475d4d8f5f6e16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
Identités remarquables: astuces et pièges
Vous trouverez ici des exercices plus compliqués, où identifier les identités remarquables sera plus dur et quelques pièges.
Difficulté: 3/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: -36 + 16x²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Attention: l’ordre des termes peut changer votre perception.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Ici, on peut avoir du mal à identifier une identité remarquable. Voici donc quelques astuces:
- Tout d’abord il n’y a que deux termes donc on ne peut que être dans le cas de la troisième identité remarquable.
- L’ordre des termes est inversé par rapport à la formule. Comme on le dit souvent ordonnez vos termes!
On ordonne: -36 + 16x² = 16x² – 36.
On identifie a = 4x et b = 6.
Rédaction:
![\[ -36 + 16x^2 = 16x^2 - 36 = (4x - 6)(4x + 6) \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cd29391b941caa38f0492ec1193a601_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
Difficulté: 3/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: 3x + 9x² + 3
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Attention: l’ordre des termes peut changer votre perception.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
On ordonne: 3x + 9x² + 3 = 9x² + 3x + 3.
On identifie a = 3x et b = 3. MAIS! On a 2ab = 18x qi est différent de 3x. CNous n’avons donc ici pas d’identité remarquable!
On peut cependant factoriser par le facteur commun 3 (Calcul littéral – Exercices 3eme).
Rédaction:
![\[ 3x + 9x^2 + 3 = 9x^2 + 3x + 3 = 3\times3x^2 + 3\timesx + 3\times1 = 3(3x^2 + x + 1) \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c388126dfbd177d5868252b0bb037707_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
- Souvent les étudiants ne réfléchissent soit qu’aux identités remarquables soit pas du tout à celles-ci. Essayez de les garder toujours en tête et de toujours vérifier si elles ne sont pas présentes tout en gardant à l’idée qu’on peut factoriser par un simple facteur commun.
Difficulté: 3/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: 81 – 18x + x²
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Attention:
- L’ordre des termes peut changer votre perception.
- La seule difficulté est dans le carré de 9. On vous conseille de connaître vos carrés jusqu’à 12.
| x | x² |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Ici, on peut avoir du mal à identifier une identité remarquable. Voici donc quelques astuces:
- Tout d’abord il n’y a que deux termes donc on ne peut que être dans le cas de la troisième identité remarquable.
- L’ordre des termes est inversé par rapport à la formule. Comme on le dit souvent ordonnez vos termes!
On ordonne: 81 – 18x + x² = x² – 18x + 81.
On identifie a = x et b = 9.
Rédaction:
![\[ 81 - 18x + x^2 = x^2 - 18x + 81 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88a9b66d09cb36efdd44cce2b3c353ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
- La seule difficulté est dans le carré de 9. On vous conseille de connaître vos carrés jusqu’à 12.
| x | x² |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
Difficulté: 3/3
Compétence: Factoriser/identités remarquables
Énoncé: Factoriser: x² + 18x + 9
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Attention:
- L’ordre des termes peut changer votre perception.
Pour plus d’informations, consultez notre cours Identités remarquables – Cours 3ème.
Méthode de résolution:
- Identifier l’identité remarquable à utiliser.
- Identifier les différents facteurs a et b de l’identité.
- Résoudre la factorisation.
On applique la méthode:
Comment bien identifier les identités remarquables?
- Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
- Identifier le terme en x² qui correspond au a².
- Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
- Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
- Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).
Ici, il n’y a absolument aucun piège.
On identifie a = x et b = 3.
Rédaction:
![\[ x^2 + 18x + 9 = {(x + 3)}^2 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9fbc32d37fa9ac7b84213094daba0fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note:
- On vous conseille de bien réaliser chaque étape et de bien se forcer à identifier a et b au moins au début pour éviter toutes les fautes d’inattention. Rien ne presse donc prenez votre temps! On aborde cette thématique dans la fiche d’exercices: Calcul littéral – Exercices 3eme
- Vous remarquerez que la partie calcul est juste inexistante car c’est une formule. Toute la démarche se fait avant d’être sur votre copie!
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