Identités remarquables

Nous savons à quel point les identités remarquables sont difficiles pour les élèves mais pas d’inquiétude ! Cette fiche t’apprendras tout ce qu’il te faudra et toutes les méthodes pour bien répondre aux exercices ! Nous t’avons rajouté un certain nombre d’exercices corrigés pour t’entrainer sur cette fiche, tu peux aussi retrouver tous nos exercices sur les identités remarquables sur notre site !

Les identités

Les 3 identités remarquables sont les suivantes :

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)(a + b) = a² – b²

Notre conseil : Ton ou ta professeur t’as surement déjà demandé plus de 10 fois de les apprendre par cœur et tu ne t’en souviens peut être déjà plus. Pour retenir des formules, il ne suffit pas de les apprendre par cœur sinon tu les oublieras. On te conseille de bien comprendre d’où elles viennent pour pouvoir les retenir (ou même les retrouver si tu as un oubli, ça arrive à tout le monde) ! On t’explique les identités remarquables ci-dessous.

Explication

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration :

Comme a x b = b x a et avec la double distributivité, on a :

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Tout simplement !

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Démonstration :

Comme a x b = b x a et avec la double distributivité, on a :

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²

(a – b)(a + b) = a² – b²

Démonstration :

Comme a x b = b x a et avec la double distributivité, on a :

(a – b)(a + b) = a² + ab – ba – b² = a² – b² car ab = ba!

Notre conseil : Les démonstrations ne sont vraiment pas compliquées et te permettront de retrouver facilement tes identités remarquables. Refais les chez toi sur un papier quelques jours de suite pour être sûr de bien avoir compris (ça prend 5mn et ça t’aidera toute ta vie) !

Développement et factorisation

Chaque identité remarquable contient d’un coté un produit et de l’autre une somme. Rappelle-toi : factoriser c’est transformer une somme en produit et développer c’est transformer un produit en somme ! Si tu dois développer ou factoriser avec les identités remarquables, lis les dans le bon sens ! Pour développer et pour factoriser :

Comment bien identifier les identités remarquables?

Ranger ses termes dans l’ordre décroissant des puissances de x.
Identifier le terme en x² qui correspond au a².
Prendre a tel que a² est égal au terme identifié.
Identifier b (tel que b² est égal au terme sans x).
Regarder si le dernier terme correspond à 2ab ou -2ab (si le dernier terme n’existe pas, pensez à la troisième identité remarquable).

Retrouve tous nos exercices de développement et factorisation avec les identités remarquables: Identités remarquables – Exercices 3eme et sans: Calcul littéral – Exercices 3eme.

Exercices et méthode :

1.Factoriser 4x² + 4x + 1

Je remarque qu’il n’y a pas de facteur commun (on en parle dans la fiche de cours sur le calcul littéral), je sais donc que je vais devoir utiliser mes identités remarquables !
J’identifie quelle identité je vais choisir. Je sais déjà que je dois factoriser donc je lis mes identités dans le sens rouge ci-dessus . Ca ne peut pas être la troisième car j’ai 3 termes c’est donc soit la première soit la deuxième. De plus , ils sont tous positifs, c’est donc la première !
J’identifie a et b : on peut déjà prendre b = 1 et ensuite comme a² = 4x² on peut prendre a = 2x. On a bien 2ab = 4x (on te conseille de toujours bien vérifier pour être certain de ne pas faire de faute).
Il ne reste plus qu’à appliquer : 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

A toi de jouer !

2.Factoriser x² – 4

Pas de facteur commun je dois donc utiliser les identités remarquables !
Je factorise donc je lis dans le sens rouge et il n’y a que deux termes donc c’est forcément la troisième !
J’identifie a = x et b = 2.
J’applique : x² – 4 =(x – 2)(x + 2)

3.Développer (x – 3)²

Je développe, je lis mes identités dans le sens vert.
Je reconnais directement la deuxième identité (pour le développement c’est encore plus simple !).
J’identifie a = x et b = 3
J’applique : (x – 3)² = x² – 6x + 9

4. Développer (3x – 4)(3x + 4)

Je développe, je lis mes identités dans le sens vert.
Je reconnais directement la troisième identité.
J’identifie a = 3x et b = 4
J’applique : (3x – 4)(3x + 4) = 9x² – 16

Retrouve tous nos exercices de développement et factorisation avec les identités remarquables: Identités remarquables – Exercices 3eme et sans: Calcul littéral – Exercices 3eme.

Notre conseil : Pour éviter d’être perdu, il faut appliquer la méthode qu’on t’a montré lentement pour commencer, tu pourras augmenter la vitesse ensuite. Enfin, n’hésite pas à écrire tes identités remarquables au brouillon (c’est même très important). Tu verras mieux quelle identité utiliser et tu sauras mieux identifier a et b.

Retrouve tous les exercices de calcul littéral sur notre site!

Notre conseil :

Il est plus qu’important de connaitre ses identités remarquables pour de nombreuses raisons que vous ne connaissez sûrement pas aujourd’hui mais que vous découvrirez au lycée! Pour réussir, levez l’incompréhension et comprenez que ce ne sont que de simples calculs à « remarquer » qui vous serviront par la suite!
Apprendre par cœur pour le jour du contrôle n’est pas une solution pour ces identités car vous en aurez souvent besoin plus tard. Ne pas avoir les bases aujourd’hui avec les identités, c’est vous pénaliser pour toutes vos années de lycée. Pratiquez et les habitudes viendront très vite!

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Équations – Cours 3ème

Une fiche de cours sur les équations: l’un des chapitres les plus importants du programme de 3ème. Les identités remarquables sont utilisées dans la résolution d’équations.

Ressources extérieures:

Outil: Identités remarquables – Cours

Un cours simple et clair avec des schémas en couleur pour mieux comprendre les différentes identités!

Identités remarquables – Cours 3ème