Image, antécédent et courbes

Vous avez pu découvrir les notions d’images, d’antécédents ainsi que de courbe représentative en 3ème (consultez notre cours!). Nous allons à présent approfondir l’analyse des fonctions dans ce chapitre ainsi que dans le chapitre Étude de fonctions – Cours 2nd. L’important est de bien comprendre qu’est ce qu’une fonction, comment la représenter et quelles sont ses propriétés. On découvre et redécouvre toutes ces thématiques dans ce cours.

Définitions

Fonction : une fonction est une relation mathématique qui associe à chaque élément d’un ensemble (appelé l’ensemble de départ ou domaine) un unique élément d’un autre ensemble (appelé l’ensemble d’arrivée ou image). On note cette relation sous la forme « y = f(x) » où x est l’élément de l’ensemble de départ et y est l’élément de l’ensemble d’arrivée associé.

Image et antécédent : l’image d’un élément x du domaine par la fonction f est l’élément y de l’ensemble d’arrivée associé à x. On note l’image de x par f sous la forme « f(x) ». L’antécédent d’un élément y de l’ensemble d’arrivée par la fonction f est l’élément x du domaine associé à y. On note l’antécédent de y par f sous la forme « f^(-1)(y) ».

Représentation graphique d’une fonction

Axes et échelle : pour représenter graphiquement une fonction, il faut d’abord tracer les axes des abscisses et des ordonnées, en choisissant une échelle adaptée. L’axe des abscisses représente les éléments du domaine et l’axe des ordonnées représente les éléments de l’ensemble d’arrivée.

Courbe représentative : pour représenter graphiquement une fonction, il faut tracer la courbe représentative de cette fonction, en reliant par une ligne continue les points de coordonnées (x, f(x)) pour tous les éléments x du domaine.

Propriétés de la courbe représentative d’une fonction

Continuité et discontinuité : une fonction est continue si sa courbe représentative est continue, c’est-à-dire si elle ne comporte aucune interruption. Elle est discontinue si sa courbe représentative comporte une ou plusieurs interruptions.

Asymptotes : une asymptote est une droite parallèle à un des axes qui s’approche de la courbe représentative de la fonction sans jamais la toucher. Une fonction peut avoir des asymptotes verticales, horizontales ou obliques.

Symétrie: Nous étudions plus en profondeur la notion de symétrie dans la partie suivante.

Symétrie

Voici tout d’abord les différentes définitions des symétries:

Symétrie axiale : une fonction est symétrique par rapport à un axe s’il existe une transformation qui la fait coïncider avec elle-même. On parle de symétrie axiale si cet axe est l’un des axes des abscisses ou des ordonnées.

Symétrie centrale : une fonction est symétrique par rapport à un point s’il existe une transformation qui la fait coïncider avec elle-même. On parle de symétrie centrale si ce point est le centre de la courbe représentative de la fonction.

Comme toutes propriétés de fonction, elles se traduisent graphiquement:

Symétrie axiale : si une fonction est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, alors sa courbe représentative est reflétée par rapport à cet axe. Si elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, alors sa courbe représentative est la même de part et d’autre de cet axe.

Symétrie centrale : si une fonction est symétrique par rapport à un point, alors sa courbe représentative est la même de part et d’autre de ce point.

Voici quelques exemples de fonctions symétriques:

Fonction carrée : la fonction carrée f(x) = x^2 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction cubique : la fonction cubique f(x) = x^3 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Fonction cosinus : la fonction cosinus f(x) = cos(x) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Fonction sinus : la fonction sinus f(x) = sin(x) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Notre conseil: Ces notions ne sont pas les plus compliquées à comprendre (surtout graphiquement!), pratiquez un peu avec nos exercices pour comprendre celles-ci et engranger des points faciles en contrôle.

Exercices

Déterminer si la fonction f(x) = x^2 + 3x est symétrique par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

Déterminer si la fonction f(x) = 3x^2 – x est symétrique par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

Déterminer si la fonction f(x) = x^3 – 3x est symétrique par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

Déterminer si la fonction f(x) = x^4 – 2x^2 est symétrique par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Fonctions – Exercices 3eme

Pour vérifier et tester ses connaissances de base sur les fonctions.

Fiche de cours: Étude de fonctions – Cours 2nd

Pour compléter ce cours avec d’autres notions d’étude de fonction.

Ressources extérieures:

Outil: Étude de fonctions

Un bon cours pour compléter ton apprentissage.

Image, antécédent et courbes – Cours 2nd (ajouter les images)