Inégalités – Cours 2nd
Inégalités
Dans ce chapitre, nous allons découvrir les inégalités et exprimer les inégalités sous forme d’intervalle et inversement. Ce chapitre fait écho au chapitre sur les intervalles qu’on vous conseille vivement de visiter avant de vous plonger dans celui-ci.
Définitions
On appelle inégalité une relation mathématique qui met en comparaison deux termes.
Notre astuce : Concrètement, on fonctionnera de la même manière qu’avec les égalités. Toutes les opérations sur les égalités sont aussi valables pour les inégalités, il n’y a que deux points auxquels il faudra faire attention:
- SI on multiplie ou divise l’inégalité par un nombre négatif, alors on change le signe de l’inégalité.
Exemple :
![\[ a \le b \Rightarrow -2a \ge -2b \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf57cf6849322370467f448494d57978_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Si on change le signe de tous les termes, alors on change le signe de l’inégalité.
Exemple :
![\[ a \le b \Rightarrow -a \ge -b \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce41881822a771489bdf1cb09d040a80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Notre astuce : En réalité, ces deux règles n’en sont qu’une, car changer le signe des termes de l’inégalité reviens à la multiplier par -1 des deux côtés.
Notre conseil : Nous vous déconseillons de garder des fractions dans vos inégalités. Autant que possible, essayez de supprimer les dénominateurs en multiplient les termes des inéquations par les dénominateurs.
Exemple : Vérifier que:
![\[ \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e7b0930b406d663544ef68fe04476af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il suffit de montrer:
![\[ \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 1\times2 \le 1\times3 \Rightarrow 2 \le 3 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42cb01e815243ce3bfb47f9228d5a024_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Attention : dans une inéquation, on ne peut pas a priori multiplier par la variable x car on ne sait pas si elle est positive ou négative (sauf si précisé dans l’énoncé).
Différence
Comparaison avec le calcul
Pour comparer 2 nombres x et y, on peut étudier par exemple l’inégalité:
![\[ x \le y \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76be98b558ab82d826b51c173a9f19c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Qui revient donc à étudier l’inégalité:
![\[ x \le y \Rightarrow x - y \le 0 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7850f673e5a8ea717a7794219d8479f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
en soustrayant par y des deux côtés.
De cette manière, vous pourrez par exemple étudier si pour f et g deux fonctions:
![\[ f(x) \le g(x) \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02c9c49da7df87ac6f57a85bc6153b73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En étudiant le signe de la nouvelle fonction:
![\[ h(x) \le 0 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7443ad3985faa639eecdc295cf438cc6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
avec h = f – g.
Exemple : Soit f(x) = 2x et g(x) = x + 2. Déterminer l’intervalle sur lequel on a:
Il suffit d’étudier le signe de h(x) = f(x) – g(x) = 2x – x – 2 = x – 2.
On a:
![\[ h(x) \ge 0 \Rightarrow x - 2 \ge 0 \Rightarrow x\ge 2 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0cc86e5a4a06807db32d9d52fb7961cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On a donc bien:
Pour :
![\[ x \ge 2 \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aac9e4d893ffce9575fec5e2e2eb467c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
soit:
![\[ x \in [2 ; +\infty[ \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-130d0ad903072dc946fafa89b20419d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Comparaison graphique
Avec un graphique, il suffit alors de regarder quelle courbe est au dessus de l’autre. On peut ensuite conclure naturellement.
Exemple : En vert la fonction f(x) = x² et en rouge g(x) = x + 2.
On a bien que:
![\[ f(x) \ge g(x) pour x \in [1 ; +\infty[ \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8c31ab44c45972809b2b6cb7ee0b81f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
et :
![\[ f(x) \le g(x) pour x \in [-1 ; 1] \]](https://mastermaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57c2c518bf295e075b8958b612f5f07f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Retrouve tous les exercices sur les intervalles sur notre site!
Notre conseil :
Ressources supplémentaires:
Sur notre site:
Fiche de cours: Équations – Cours 3ème
Les inégalités se centrent sur les bases que vous avez avec les égalités. Nous vous conseillons de bien maîtriser ce chapitre pour bien manipuler les inégalités. On vous conseille aussi de pratiquer sur les exercices d’équation!
Ressources extérieures:
Outil: Geogebra
Pour tracer l’ensemble des courbes de fonctions que vous voulez et avoir une vision concrète des fonctions qu’on peut étudier.