Intervalles – Cours 2nd

Intervalles

Dans ce chapitre, nous allons découvrir la notion d’intervalle: comprendre à quoi ça sert, le vocabulaire, et comment les utiliser. Nous utilisons régulièrement des intervalles dans notre vie de tous les jours sans nous en rendre compte: des intervalles pour les dates, les heures, les prix, …

Définitions

• L’intervalle [a ; b] représente l’ensemble des réels compris entre a et b. Cet intervalle est dit un intervalle fermé car il contient a et b. Il existe aussi l’intervalle ouvert ]a ; b[ qui contient l’ensemble des réels strictement compris entre a et b, c’est à dire strictement supérieurs à a et strictement inférieurs à b.
• On appelle borne d’un intervalle les « valeurs limites » de cet intervalle (a et b dans l’exemple précédent).

Note : les bornes peuvent être + infini ou – infini.

Rappel :

Les nombres réels sont l’ensemble des nombres que vous connaissez (pour l’instant). Ils ont été initialement créés pour représenter les distances sur une droite. Vous l’aurez compris, c’est l’ensemble de nombre le plus « grands » que vous connaissiez (pour l’instant en tout cas).

L’ensemble des nombres réels sont représentables sur une droite.

Notre conseil : Quand vous observez un intervalle, prenez le temps de bien regarder les crochets. Si ils sont refermés vers les nombres de l’intervalle, alors l’intervalle contient la borne en question. SI le crochet est vers l’extérieur, alors l’intervalle ne la contient pas (tout simplement).

On est pas obligé d’avoir des intervalles seulement ouverts ou seulement fermés, on peut aussi avoir des intervalles de la forme [a ; b[ par exemple!

Notre conseil : Il est extrêmement important de lire dans sa tête l’intervalle quand vous le lisez! Nous appliquons tous cette astuce pour éviter des fautes inattention.

Exemple : Que signifie l’intervalle [2 ; 3[ ?

C’est l’ensemble des réels entre 2 et 3 avec 2 inclus et 3 non inclus !

Forcez vous à réaliser cette gymnastique qui vous évitera des fautes de mécompréhension (que vous soyez novices ou que vous fassiez des maths depuis plus de 15 ans).

On peut représenter ces intervalles sur la droite des réels. Pour l’intervalle [a ; b] on a par exemple :

Réunion et intersection

Réunion : On parle de réunion de deux intervalles et on note [a ; b] U [c ; d] l’ensemble des réels compris dans l’intervalle [a ; b] ainsi que ceux de [c ; d].

Notre astuce : Si vous avez une réunion de deux intervalles. x appartient à la réunion si il appartient au moins à l’un des deux intervalles.

Intersection : On parle d’intersection de deux intervalles et on note:

   

l’ensemble des réels qui appartiennent à [a ; b] et à [c ; d].

Notre astuce : Si vous avez une intersection de deux intervalles. x appartient à l’intersection si il appartient aux deux intervalles.

Exercice : Réécrire sous forme d’un unique intervalle les deux intervalles suivants:

   

   

1. Dans le premier cas. L’intersection indique que cet intervalle représente l’ensemble des réels qui appartiennent à [1 ; 3] et à [2 ; 4], on a donc que ce sont les réels compris entre 2 et 3 soit l’intervalle: [2 ; 3].
2. Dans le deuxième cas. L’intersection indique que cet intervalle représente l’ensemble des réels qui appartiennent à [3 ; 6] et à [5 ; 9], on a donc que ce sont les réels compris entre 5 et 6 soit l’intervalle: [5 ; 6].

On a graphiquement:

Pour la question 1:

Pour la question 2:

Retrouve tous les exercices sur les intervalles sur notre site!

Notre conseil :

Ressources supplémentaires:

Sur notre site:

Fiche de cours: Équations – Cours 3ème

Bien maîtriser les équations vous permettra d’ensuite aller plus loin avec les intervalles pour les inéquations.

Ressources extérieures:

Outil: Intervalle -Wikipedia

Pour explorer un peu plus l’histoire et l’origine des intervalles.